Летные качества моделей ракет

Проектировать, строить и запускать модели ракет не просто. Особенно, когда конструктор стремится к достижению наивысших результатов в соревнованиях.

Успех спортсмена во многом зависит от правильного выбора двигателя для модели. Еще один шаг к достижению рекорда — знание законов движения модели.

В этой главе мы познакомимся с понятиями, связанными с движением — скоростью, ускорением и другими факторами, влияющими на высоту полета.

Летные качества моделей ракет в основном зависят от следующих факторов:

• G_CT — стартовый вес модели ракеты (кг);
• G_T — вес топлива (кг);
• J_∑ — суммарный импульс двигателя (двигателей) (кг·сек);
• Р_уд — удельная тяга двигателя (двигателей) (кг·сек/кг);
• V — скорость модели ракеты (м/сек);
• Р — тяга двигателя (двигателей) (кг);
• а — ускорение модели ракеты (м/сек²);
• t — время действия двигателя (двигателей) (сек);
• i — количество ступеней модели ракеты.

Идеальная скорость модели ракеты

Высота полета модели ракеты зависит в первую очередь от ее скорости, достигаемой в конце работы двигателя. Сначала рассмотрим, как найти конечную скорость модели без учета сопротивления воздуха и притяжения земли. Такую скорость назовем идеальной скоростью модели ракеты.

Для определения скорости модели ракеты используем следующий закон механики: изменение количества движения какого-либо тела равно импульсу приложенной к телу силы.

Количеством движения называется произведение массы тела m на его скорость V, а импульсом силы — произведение приложенной к телу силы F на время ее действия t.


В нашем случае этот закон выражается формулой:


где m — масса модели ракеты;



V_к — скорость модели ракеты в конце работы двигателя;
V_ст — скорость модели ракеты в начале движения (в данном случае Уст=0);
Р — тяга двигателя;
t — время работы двигателя.

Так как в момент старта V_ст = 0, получим:


Масса модели ракеты во время работы двигателя по мере выгорания топлива меняется. Будем считать, что расход топлива — величина постоянная и что за время работы двигателя вес топлива равномерно уменьшается от G_T до 0. Для упрощения расчетов предположим, что средний вес топлива равен G_T/2, тогда средняя масса модели ракеты будет равна:


Учитывая, что P·t=J_∑—Р_уд·G_T) и исходя из среднего веса топлива, перепишем уравнение (20):


откуда:

или

Эта формула — приближенное выражение известной формулы К. Э. Циолковского. Ее можно записать и в другом, более удобном для расчета виде. Для этого умножим числитель и знаменатель правой части формулы на G_T/2.




Приведем несколько примеров использования этой формулы.

Задача 4. Определить идеальную скорость одноступенчатой модели ракеты, если: G_CT=0,1 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг.

Решение. Для решения применим формулу (23). Получим:

Формула К. Э. Циолковского

Точнее идеальную скорость модели ракеты можно определить по известной формуле К. Э. Циолковского с помощью логарифмических таблиц.


где W — скорость истечения газов из сопла;
m_ст — стартовая масса модели ракеты;
m_к — конечная масса модели ракеты;
Z — число Циолковского.

Коэффициент 2,3026 появился во второй формуле при переходе от натурального логарифма к десятичному.

Задача 5. Определить идеальную скорость модели ракеты по формуле К. Э. Циолковского, если: G_CT=0,1 кг; G_T=0,018 кг; Р_уд=30 кг·сек/кг.

Решение. Конечный вес модели ракеты:




Подставим имеющиеся данные в формулу Циолковского:

3. Действительная скорость модели ракеты

На полет модели ракеты оказывают влияние сопротивление воздуха и наличие земного тяготения. Поэтому в наши расчеты необходимо ввести поправку на эти факторы. Только тогда мы получим действительную скорость модели ракеты в конце работы двигателя, на основании которой можно подсчитать и траекторию полета модели.

Действительную конечную скорость модели ракеты можно подсчитать по формуле:


где V_к — идеальная скорость модели ракеты;
Р_ср — средняя тяга двигателя;
g — земное ускорение;
t — время;
D — диаметр миделя;
А — коэффициент.

В этой формуле выражение gt учитывает тяготение земли, а выражение D²/P_ср·А — влияние сопротивления воздуха. Коэффициент А зависит от идеальной скорости и высоты полета модели ракеты. Значения коэффициента А для различных идеальных скоростей и высот полета приведены в табл. 2.




Задача 6. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка траектории полета, если Р_уд=30 кг·сек/кг; G_T=0,018 кг; G_Т=0,1 кг; t=0,6 сек; Р_ср=0,9 кг; D=3 см.

Решение. Идеальную скорость модели ракеты определим по одному из приведенных вариантов формулы К. Э. Циолковского:


Действительную скорость модели ракеты подсчитаем по формуле (25):


Значение коэффициента А для данной высоты полета А=0,083.


Задача 7. Определить действительную скорость модели ракеты в конце активного участка, если Р_уд=25 кг·сек/кг; G_T=0,1 кг; t=4 сек; D=3 см; G=0,1 кг (G_к — вес модели ракеты без топлива).

Решение. Стартовый вес модели:

Идеальная скорость модели ракеты:

Средняя тяга двигателя:

Действительная скорость модели ракеты:

Исходя из того, что суммарный импульс и время работы — основные параметры двигателя, эту формулу для практического использования удобнее переписать в виде:


так как

4. Высота полета модели ракеты

Рассмотрим теперь, как, зная скорость модели ракеты, найти высоту ее полета. Будем рассматривать полет модели строго по вертикали. Траекторию полета модели ракеты можно разбить на два участка — активный, при работающих двигателях модели ракеты, и пассивный — полет модели по инерции после окончания работы двигателей. Таким образом, общая высота полета модели ракеты равна:


где h₁ — высота полета на активном участке;
h₂ — высота полета на пассивном участке.

Высоту h₁ можно вычислить, считая, что скорость модели ракеты изменяется равномерно от 0 до V_действ в конце работы двигателей. Средняя скорость на данном участке равна


где t — время полета на активном участке.

В формуле (27) при подсчете V_действ было учтено сопротивление воздуха. Другое дело, когда мы будем подсчитывать h₂. Если бы сопротивление воздуха отсутствовало, то по законам механики тело, летящее по инерции с начальной скоростью, набирает высоту


Так как в нашем случае V_нач=V_действ, то


В эту формулу для учета сопротивления воздуха необходимо ввести коэффициент. Опытным путем найдено, что он приблизительно равен 0,8. Таким образом, с учетом сопротивления воздуха формула примет вид


Тогда формулу (26) можно записать в виде:


Задача 8. Рассчитать высоту траектории полета модели ракеты и ее ускорение на основании данных: G_CT=0,08 кг; D=2,3 см; P_уд=45,5 кг·сек/кг; Р_ср=0,25 кг; f=4 сек; G_Т=0,022 кг; J_∑=1,0 кг·сек (двигатель ДБ-З-СМ-10).

Решение. Идеальная скорость модели ракеты:


Действительная скорость модели ракеты:


Высота полета модели ракеты на активном участке:


Высота полета на пассивном участке:


Общая высота полета модели ракеты:

5. Изменение параметров траектории полета модели ракеты в зависимости от времени работы двигателя

Из формулы (29) видно, что высота полета модели ракеты в основном зависит от величины скорости модели ракеты, достигаемой в конце работы двигателей. Чем больше эта скорость, тем выше полетит модель. Посмотрим, какими способами можно увеличить эту скорость. Возвратимся к формуле (25).


Мы видим, что чем меньше значение gt и D₂/P_ср·A, тем выше скорость модели ракеты, а значит, больше значение высоты полета модели.

Таблица 3 показывает изменение параметров траектории полета ракеты в зависимости от времени работы двигателя. Таблица дана для моделей ракет со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10. Характеристики двигателя: J_∑=1,0 кг·сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; G_T=0,022 кг. Суммарный импульс остается постоянным на протяжений всего полета.


Из таблицы видно, что при времени работы двигателя 0,1 сек, теоретическая высота полета модели равна 813 м. Казалось бы, давайте делать двигатели с таким временем работы — и рекорды обеспечены. Однако при таком времени работы двигателя модель должна развить скорость от 0 до 140,6 м/сек. Если бы на борту ракеты с такой скоростью были живые существа, то ни одно из них не смогло бы выдержать такой перегрузки.

Таким образом, мы с вами подошли еще к одному важному понятию в ракетостроении — скорости набора скорости или ускорению. Перегрузки, связанные с чрезмерным ускорением модели ракеты, могут разрушить модель. А чтобы сделать конструкцию более прочной, придется увеличить ее вес. Кроме того, полеты с большими ускорениями опасны для окружающих.

6. Ускорение модели ракеты

На модель ракеты в полете действуют следующие силы: направленная вверх сила тяги двигателя, и направленные вниз сила притяжения земли (вес модели) и сопротивления воздуха.

Допустим, что сопротивление воздуха отсутствует. Для определения ускорения нашей модели используем второй закон механики: произведение массы тела на его ускорение равно действующей ка тело силе (F=m·a).

В нашем случае этот закон примет вид:


Это выражение для ускорения в начале полета.

Из-за выгорания топлива масса модели ракеты постоянно меняется. Следовательно, меняется и ее ускорение. Чтобы найти ускорение в конце активного участка, будем считать, что все топливо в двигателе сгорело, но двигатель еще работает в последний момент перед отключением. Тогда ускорение в конце активного участка можно рассчитать по формуле:


Если ввести в формулу средний вес модели ракеты на активном участке G_ср= G_CT—G_T/2, то получим формулу среднего ускорения:


Ускорение модели ракеты можно также определить из приближенной формулы Циолковского (23), зная, что по известной формуле механики V_к=a_ср·t (t в нашем случае — время работы двигателя), подставим это значение для V_к в формулу (23)


Приближенная формула Циолковского не учитывает влияние земного притяжения, которое направлено вниз и придает всем телам ускорение, равное g. С поправкой на земное притяжение формула для среднего ускорения на активном участке полета примет вид:


Еще раз следует подчеркнуть, что формулы (32) и (33) не учитывают сопротивление воздуха.

Задача 9. Определить, не учитывая сопротивления воздуха, среднее ускорение модели ракеты, если G_CT=0,08/кг; G_T=0.022 кг; Р_ср=0,25 кг; t=4 сек; Р_уд=45,5 кг·сек/кг; W=P_уд·g=446 м/сек.

Решение. Среднее ускорение модели ракеты найдем по формулам (32) и (33):


Как видите, результаты получились одинаковыми. Но так как эти формулы не учитывают сопротивления воздуха, то величина действительной скорости, подсчитанная по формуле V_действ=а_ср·t, будет завышена.

Задача 10. Определить без учета сопротивления воздуха скорость модели ракеты в конце активного участка и высоту полета, исходя из результатов задачи 9. Результаты сравнить с результатами задачи 8.

Решение. V_действ=а_ср·t=25,7·4=102,2 м/сек.

Действительная скорость модели ракеты в задаче 8, решенной с учетом сопротивления воздуха, равна 76,4 м/сек. Следовательно, пренебрежение сопротивлением воздуха дает абсолютную погрешность


и относительную погрешность

Без учета сопротивления воздуха высота полета модели ракеты на активном участке:


На пассивном участке:

Общая высота: H=h₁+h₂=205,6+538=743,6 м.

Сравнивая эти результаты с результатами задачи 8, где высота полета модели подсчитывалась с учетом сопротивления воздуха и равнялась 390,8 м, получим:

7. Истинное ускорение модели ракеты

Для определения истинного ускорения модели ракеты часто используется формула:


При выведении формулы (34) рассматриваются два положения модели ракеты во время полета: на старте, когда ее масса равна G_CT/g, и в конце активного участка, когда масса модели равна (G_CT—G_T)/g. Для этих двух положений подсчитывается ускорение модели и берется его среднее значение. Причем не учитывается, что расход топлива в процессе полета приводит не к постоянному (линейному) изменению ускорения, а к неравномерному.

Для примера рассмотрим полет модели ракеты со стартовым весом G_CT=0,08 кг и двигателем ДБ-З-СМ-10, имеющим данные Р_ср=0,25 кг; t=4 сек, G_T=0,022 кг; ω=0,022/4=0,0055 кг; Р_уд=45,5 кг·сек/кг.

По формуле (30), не учитывающей сопротивления воздуха, произведем расчет ускорений через каждые 0,5 сек, допуская, что секундный расход топлива величина постоянная (ω=const).


По формуле (34) подсчитаем среднее ускорение:


Определим среднее ускорение по формулам (32) и (33), также не учитывающим сопротивление воздуха:


Теперь наглядно видна разница между полученными результатами. Формула (34) для подсчета среднего ускорения модели ракеты не годится, т. к. неприменима для тел с переменной массой. Нужно использовать формулы (32) и (33), дающие достаточную точность в любой точке траектории полета модели ракеты. Но как показали результаты полетов моделей ракет и их испытания в аэродинамических трубах, в формулы (32) и (33) необходимо ввести учитывающий сопротивление воздуха коэффициент К, который изменяется в пределах 0,66÷0,8.

Таким образом, формулы истинного ускорения модели ракеты имеют вид:


Разберем вышеприведенный пример до конца. Определим истинное ускорение модели ракеты и ее действительную скорость (возьмем среднее значение коэффициента К=0,743)


Выбирать значение коэффициента надо в зависимости от площади миделя модели ракеты. Чем больше площадь миделя, тем меньше нужно брать значение К из диапазона его изменения 0,66÷0,8.

Приведенный метод расчета действительной скорости модели ракеты наиболее простой и достаточно точный. Исключает необходимость пользования таблицами.

8. Скорость многоступенчатых моделей ракет

Идея многоступенчатых ракет принадлежит нашему соотечественнику, замечательному ученому К. Э. Циолковскому. Модель многоступенчатой ракеты с тем же запасом топлива, что и одноступенчатая, достигает большей конечной скорости, дальности и высоты полета, так как двигатели каждой ступени работают последовательно, один за другим. Когда отработает двигатель нижней ступени, она отделяется, начинает работать двигатель следующей ступени и т. д. С отделением очередной ступени масса модели ракеты уменьшается. Так повторяется до последней ступени. Благодаря длительному разгону и все уменьшающейся массе модель получает значительно большую скорость, чем при одновременном срабатывании всех двигателей.

Большое значение имеют весовые соотношения ступеней. Эти соотношения даже более существенны, чем выбор топлива для двигателей.

Предположим, что на каждой ступени модели ракеты используются двигатели с одинаковой удельной тягой, т. е. одинаковой скоростью истечения газов из сопла двигателя.

Идеальную скорость последней ступени модели ракеты можно вычислить по формуле Циолковского (24), только вместо отношения масс m_ст/m_к возьмем величину М. Формула (24) примет вид:


Для вычислений при отсутствии таблиц натуральных логарифмов можно пользоваться таблицами десятичных логарифмов, учитывая, что ln М = 2,3026 lg М.

Заметим также, что вместо отношения масс можно пользоваться отношением весов, так как:


Следует помнить, что эта формула не учитывает влияния сопротивления воздуха и тяготения Земли.

Задача 11. Вычислить идеальную скорость полета одноступенчатой, двухступенчатой и трехступенчатой моделей ракет, если на моделях установлены двигатели_ ДБ-З-СМ-10 с удельной тягой 45,5 кг·сек/кг. Отношения масс m₁=m₂=m₃=2.

Решение. Скорость истечения газов:


Идеальная скорость одноступенчатой модели ракеты:


Идеальная скорость двухступенчатой модели ракеты:


Идеальная скорость трехступенчатой модели ракеты:


Задача 12. Рассчитать высоту полета трехступенчатой модели ракеты, если ее стартовый вес G_CT=0,12 кг; вес первой ступени G₁=0,03 кг; вес второй ступени G₂=0,03 кг; вес третьей ступени G₃=0,06 кг. На каждой ступени установлен двигатель ДБ-28-СМ-10, имеющий следующие данные: Р_уд=70 кг·сек/кг; t=3 сек, G_T=0,0143 кг.

Решение. Отношение масс первой ступени:


Отношение масс второй ступени:

Отношение масс третьей ступени:

Идеальную скорость каждой ступени определим по формуле Циолковского:


Определим высоту полета модели ракеты на первом участке траектории полета:


Определим высоту полета модели на втором участке траектории полета:


Определим высоту полета модели на третьем участке траектории:


Определим высоту полета на пассивном участке:


Общая высота полета трехступенчатой модели ракеты:

9. Расчет высоты полета модели-копии ракеты-носителя космического корабля «Восток»

Задача 13. Рассчитать высоту полета модели-копии ракеты «Восток», исходя из следующих данных: G_CT=0,5 кг; G_T=0,09 кг; Р_ср=1,575 кг; J_∑=6,3 кг/сек; Р_уд=70 кг·сек/кг; t=4 сек; D=11,3 см; W=686,7 м/сек.

Примечание: Для моделей-копий типа «Восток», принимая во внимание их диаметр, а следовательно, и большую площадь сопротивления, следует применять коэффициент К=0,7. Тогда высота полета модели будет примерно соответствовать действительности.

Решение. Истинное среднее ускорение модели ракеты с учетом сопротивления воздуха и ускорения Земли найдем по формуле (37):


Действительная скорость модели ракеты:


Высота полета модели ракеты на активном участке:


Высота полета на пассивном участке:


Общая высота полета модели:


Дорога в космос так и начиналась — с простых, маленьких ракет.